Данные с устраненными сезонными колебаниями

^ Данные с устраненными сезонными колебаниями

После определения сезонную компоненту можно использовать для вычисления данных с устраненными сезонными колебаниями. Для аддитивной декомпозиции такие данные вы­числяются путем вычитания сезонной компоненты из исходных значений.



Для мультипликативной декомпозиции данные с устраненными сезонными колебания­ми вычисляются путем деления исходных данных наблюдений на сезонную компоненту.

(5.7)

В экономике большинство временных рядов, обнародованных государственными уч­реждениями, являются данными с устраненными сезонными колебаниями, поскольку сезонные вариации не вызывают большого интереса. Интерес представляют скорее об­щие модели экономической активности, независящие от обычных сезонных изменений. Например, число регистрации новых автомобилей может возрасти на 10% в период с мая по июнь, но указывает ли это на то, что продажи новых автомобилей в этом квартале бу­дут рекордными? Конечно же, нет, поскольку увеличение данной величины на 10% ти­пично для этого времени года и в подавляющей степени является следствием исключи­тельно сезонных факторов.

В обзоре, касающемся получения данных с устраненными сезонными колебаниями, Белл (Bell) и Гилмер (Hillmer) (1984) отметили, что многие потребители отдают должное поправке на сезонность. Авторы выделяют три мотива для выполнения сезонной коррек­тировки данных.

1. 
   Исключение сезонности позволяет достоверно сравнивать значения в различные
   моменты времени.
   
2. 
   Соотношение между экономическими или деловыми переменными понять будет
   легче, если осложняющий фактор сезонности предварительно устранен из дан­
   ных.
   
3. 
   Исключение сезонности может быть полезным элементом в получении кратко­
   временных прогнозов будущих значений данных временных рядов.
   

Белл и Гилмер (1984) сделали вывод, что "исключение сезонности упрощает данные таким образом, что простые потребители в результате смогут более просто статистически интерпретировать их, причем без значительных потерь информации" (с. 301).

^ Циклические и нерегулярные изменения

Циклы — это долговременные волнообразные колебания, которые чаще всего встречают­ся в макропоказателях экономической деятельности. Как говорилось ранее, в тех преде­лах, в которых они могут быть измерены, циклы обычно не имеют устойчивой структуры. Однако определенное понимание циклического поведения временных рядов может быть получено путем исключения из них трендовой и сезонной компонент с использованием метода мультипликативной декомпозиции.7

(5.8)

Для сглаживания нерегулярностей, It, можно использовать скользящее среднее, сохраняя в данных лишь циклическую компоненту Сt. Чтобы исключить проблему центрирования при использовании метода скользящего среднего с четными временными периодами, нерегулярности сглаживаются по методу скользящего среднего с нечетным количеством периодов. Для месячных данных удобнее всего использовать 5-, 7-, 9- и даже 11-периодическое скользящее среднее. Для квартальных данных оценка С может быть рассчитана с использованием 3-периодического скользящего среднего для значений .

Наконец, нерегулярная компонента оценивается с помощью следующего уравнения.

(5.9)

Нерегулярная компонента описывает вариабельность во временных рядах после того, как были удалены все остальные компоненты. Иногда ее также называют остатком или ошибкой. При мультипликативной декомпозиции как циклическая, так и нерегулярная компоненты выражаются индексами.

Единственная причина выполнения декомпозиции временной последовательности состоит в стремлении выделить и рассмотреть отдельные компоненты последовательности. После того как аналитик рассмотрит трендовую, сезонную, циклическую и нерегулярную компоненты по отдельности, можно попытаться проникнуть в суть структуры исходных данных. Кроме того, однажды выделенные компоненты могут комбинироваться заново или синтезироваться с целью получения прогнозов будущих значений временных рядов.

Проверка значений в столбце I показывает, что в нерегулярной компоненте присутствуют большие вариации. Индекс нерегулярности убывает от 111,4% в четвертом квартале 1992 года до 87% в первом квартале 1993, а потом возрастает до 106,2% во втором квартале 1993 года. Та­кое поведение вытекает из необычайно низкого уровня продаж в первом квартале 1993 года.

Циклические индексы могут быть использованы для получения ответа на следующие вопросы.

1. 
   Является ли последовательность циклической?
   
2. 
   Если да, то каковы крайние значения цикла?
   

1. 
   Придерживается ли ряд общей схемы изменения состояния экономики (деловой
   цикл)?
   

Одним из путей исследования циклической структуры является изучение деловых по­казателей. ^ Деловой показатель представляет собой связанный с деловой активностью временной ряд, предназначенный для оценки общего состояния экономики, в частности

' ^ В приложении Minitab произведение циклической компоненты на нерегулярную компоненту (или просто нерегулярная компонента, если циклическая не рассматривается) рассчитывается путем вычитания из исходных данных тренда, умноженного на сезонную компоненту. Или в обозначениях, принятых в приложении Minitab: CI = Y- TS. Компонента С1 представлена на нижнем правом графике рис. 5.10 и на нижней правой диаграмме на рис. 5.11.
по отношению к бизнес-циклу. Многие деловые люди и экономисты систематически следят за динамикой таких статистических рядов, чтобы получить экономическую или деловую информацию в виде развернутой общей картины — актуальной на сегодняшний день, всесторонней, относительно объективной и поддающейся восприятию и понима­нию с минимальной затратой времени.

Деловой показатель — это связанный с деловой активностью временной ряд, предна­значенный для упрощения понимания общего состояния экономики.

Наиболее важные статистические показатели появились во время резкого экономиче­ского спада в 1937—1938 гг. Министр финансов, Генри Моргентау (Henry Morgenthau), потребовал от Национального комитета экономических исследований США (НКЭИ) разработать систему, которая могла бы указать, когда спад будет близок к концу. Под руководством Уэсли Митчелла (Wesley Mitchell) и Артура Бернса (Arthur F. Burns) экономисты из НКЭИ отобрали 21 ряд, которые на основе уже происшедших событий обещали быть четкими и надежными показателями делового возрождения. С того времени спи­сок показателей пересматривался несколько раз. Текущий список состоит из 22 показа­телей, причем 11 из них классифицируются как опережающие, 4 — как синхронные и 7 -как запаздывающие.

^ Опережающие показатели. На практике компоненты опережающих рядов изуча­ются для того, чтобы помочь предугадать поворотные моменты в экономике. Издание Survey of Current Business публикует эти списки каждый месяц вместе с действительными значениями каждого ряда для нескольких прошедших месяцев и последнего года. Кроме того, сводный индекс опережающих показателей рассчитывается для каждого месяца и года; а наиболее свежие месячные значения часто публикуются в популярных изданиях, чтобы указать основное направление дальнейшего развития экономики. В качестве примеров опережающих показателей можно привести новые заказы у производителей и показатель курса акций.

^ Синхронные показатели. Четыре синхронных показателя указывают, как экономика США функционирует в настоящее время. Индекс этих четырех рядов рассчитывается для каждого месяца. Примерами синхронных показателей являются индивидуальные доходы и объемы продаж.

^ Запаздывающие показатели. Эти показатели имеют тенденцию к отставанию от общего состояния экономики как в подъемах, так и в спадах. Сводный индекс рассчитывается и для этих рядов. Примерами запаздывающих показателей могут служить нормы процентных ставок и неоплаченные коммерческие ссуды.

Цикличность подразумевает наличие точек поворота. Иначе говоря, точки поворота имеют место только как результат последовательного спада или подъема в деловых циклах. Опережающие показатели изменяют направление изменений в ключе грядущих перемен в общей деловой деятельности, синхронные показатели изменяются приблизительно в то же время, что и общее состояние экономики, а изменения в запаздывающих показателях следуют за изменениями в общем состоянии экономики. Однако очень сложно выявить точки поворота цикла в тот момент, когда они наступают, так как разные области экономики по-разному расширяются во время общего подъема и не во всех областях сужение производства происходит в период спада одновременно. Поэтому

должно пройти несколько месяцев, прежде чем переломную точку подъема или спада можно будет определить с необходимой достоверностью.

Авторы статьи Early warning signals for the economy ("Ранние предупреждающие сигналы в экономике"), Джеффри Мур (Geoffrey Н. Moor) и Джулиус Шискин (Julius Shiskin) (1976), говорят относительно полезности показателей деловых циклов следующее.

Из накопленных данных становится ясно, что показатели деловых циклов являются полезными в оценке характера текущих дел и кратковременных перспектив. Однако вследствие своей ограниченности эти показатели должны использоваться совместно с другими данными, с полной осведомленностью о существе дела, надеждах и доверии потребителей, государственной политике и международных событиях. Также нужно ожидать, что показатели часто будет трудно интерпретировать, интерпретации разных аналитиков будут иногда различаться и сигналы, которые они несут, могут быть неправильно трактованы. Показатели предоставляют чувствительную и показательную картину приливов и отливов экономических течений, которую умелый аналитик экономики, политики и международных событий может использовать, чтобы увеличить свои шансы в надежном предсказании кратковременных экономических тенденций. Если аналитик осведомлен об ограничениях и внимателен к происходящему в окружающем мире, он найдет полезные свидетельства существующих тенденций для критической оценки экономики и ее нужд (с. 81).

Циклические компоненты отдельных временных рядов чаще всего согласуются неточно, а иногда и совсем не согласуются с деловыми циклами, описываемыми показателями НКЭИ. Однако если выполнена оценка циклической компоненты для данного временного ряда, ее всегда можно распространить на определенный период, получив некоторое представление о величине и длительности любого цикла, который существует в действительности. К тому же построенный график может быть сопоставлен с данными о росте и спаде общей экономической активности.

Предыдущее обсуждение демонстрирует, как факторы, приводящие к изменениям во временных рядах, могут быть разделены и изучены по отдельности. Анализ —это процесс разделения временных рядов на составляющие; синтез — это процесс обратного объединения этих составляющих в одно целое. Компоненты временных рядов могут вновь ре-комбинироваться с целью получения прогноза.

^ Прогноз сезонного временного ряда

В прогнозировании сезонных временных рядов используется процесс, обратный процессу декомпозиции. После разбиения ряда на отдельные компоненты для их раздельного изучения, его компоненты собираются для построения прогноза на будущие периоды. Для составления прогноза квартального объема продаж компании Outboard Marine применим мультипликативную модель и воспользуемся результатами примера 5.3.

Прогнозы, получаемые с помощью модели аддитивной или мультипликативной де­композиции, отражают важность отдельных компонент. Если сезонность переменной высока, то прогнозы будут иметь сильную сезонную структуру. Если к тому же присутствует тренд, то прогнозы будут следовать сезонной модели, накладываясь на экстраполированный тренд. Если в анализе доминирует одна компонента, лишь она может давать действительный, точный и кратковременный прогноз.

^ Для прогноза, составляемого с использованием аддитивной модели, нерегулярный индекс принимается в среднем равным нулю.
Метод декомпозиции Census II

Методы декомпозиции временных рядов имеют длинную историю. В 1920-х и начале 1930-х годов в Федеральном резервном управлении и Национальном комитете экономи­ческих исследований США проводились интенсивные исследования в области сезонных корректировок и методов сглаживания экономических временных рядов. Однако пока компьютерная техника не получила необходимого развития, декомпозиционные вычис­ления были трудоемкими и практическое применение этих методов было ограничено. В начале 1950-х годов Джулиус Шискин (Julius Shiskin), руководитель группы экономиче­ских статистиков в Бюро переписи населения США, разработал масштабную компью­терную программу для декомпозиции временных рядов. Первая компьютерная програм­ма весьма приближенно соответствовала ручному методу, что было пределом возможно­стей на то время, и поэтому годом позже ее заменили на усовершенствованную програм­му, известную как Method II. Далее последовала серия усовершенствованных вариантов этой программы. Текущий вариант программы декомпозиции временного ряда Бюро пе­реписи населения известен какХ-12-ARIMA. Эта программа бесплатно предоставляется в Бюро переписи населения всем желающим и широко используется правительственны­ми организациями и частными компаниями.

Декомпозиция по методу Census II обычно является мультипликативной, поскольку большинство экономических временных рядов имеет сезонные вариации, которые уве­личиваются с ростом уровня ряда. Кроме того, этот метод декомпозиции предполагает использование трех компонент: трендово-циклической, сезонной и нерегулярной.

Метод Census II включает выполнение последовательности этапов, повторяющихся до тех пор, пока компоненты не будут успешно разделены. На большинстве этапов к данным применяется метод взвешенного скользящего среднего, что приводит к неминуемои утрате данных в результате усреднения в начале и в конце последовательное Программа ARIMA, часть пакета X-12-ARIMA, позволяет расширить при прогнозировании исходный ряд в обоих направлениях, поэтому большинство наблюдений подгоняется с использованием полного взвешенного скользящего среднего. Эти прогнозы создаются на основе модели изменения временных рядов ARIMA (глава 9).

Этапы, выполняемые на каждой итерации метода Census II, реализованного в про- граммном пакете X-I2-ARIMA, описываются ниже. Из-за большого количества эта! метод может показаться слишком сложным. Однако основная его идея очень прост; отделить трендово-циклическую, сезонную и нерегулярную компоненты друг от др5 Наличие множества итераций лишь улучшает оценку каждой компоненты. Для дополнительного изучения можно рекомендовать следующие работы: Makridakis, Wheelwrig Hyndman. Forecasting: Methods and Applications, 3-rd ed. (1998) и Findley et. al. 1\ Capabilities and Methods of the X-12-ARIMA Seasonal-Adjustment Program (1998).

Этап 1 . Чтобы получить грубую оценку трендово-циклической компоненты, к исходным данным применяется метод ^-периодического скользящего средне (Для месячных данных 5=12, для квартальных данных s = 4 и т.д.)

Этап 2. Отношения исходных данных к этим значениям скользящего среднего вычисляются по методу классической мультипликативной декомпозиции, проиллюстрированной в примере 5.2.

Этап 3. Полученные на втором этапе отношения содержат как сезонную компонету так и нерегулярную. В них также входят экстремальные значения, являющие результатом необычных событий, таких как забастовки или войны. Вычисленные отношения делятся на грубую оценку сезонной компоненты, что в результате дает оценку нерегулярной компоненты. Большие значения нерегулярной компоненты указывают на экстремальные величины в исходных данных. Подобные экстремальные величины выявляются, и полученные на втором эта: отношения соответствующим образом подгоняются. Такой подход эффективно исключает те значения, которые не соответствуют общей структуре всех остальных данных. Недостающие значения в начале и в конце последовательности также заменяются на оценки, полученные на этом этапе.

Этап 4. Отношения, полученные из модифицированных данных (с исключенным экстремальными величинами и оценками для недостающих значений), сгла-живаются по методу скользящего среднего с целью исключения нерегулярны изменений. В результате будет получена предварительная оценка сезонно компоненты.

Этап 5. Затем исходные данные делятся на предварительную оценку сезонной компоненты, полученную на четвертом этапе, что дает предварительные ряды с сезонной коррекцией. Эти ряды с сезонной коррекцией включают трендово-циклическую и нерегулярную компоненты. Это выглядит следующим образом.


Этап 6. Трендово-циклическая компонента оценивается посредством применения метода взвешенного скользящего среднего к предварительному ряду с коррекцией сезонных колебаний. Скользящее среднее устраняет нерегулярные измене-

ния и дает гладкую кривую, которая демонстрирует предварительную оценку трендово-циклической компоненты в данных.

Этап 7. Далее повторяется выполнение второго этапа, но уже с новыми оценками трендово-циклической компоненты. Иными словами, новые отношения, содержащие только сезонную и нерегулярную компоненты, будут получены посредством деления исходных наблюдений на значения трендово-циклической компоненты, рассчитанные на этапе 6. В результате будут получены окончательные значения сезонно-нерегулярных отношений. Математически это выглядит следующим образом.



Этап 8. Повторяется выполнение третьего этапа, но уже с использованием новых от-

ношений, вычисленных на седьмом этапе.

Этап 9. Повторяется выполнение четвертого этапа, что дает новую оценку сезонной компоненты.

Этап 10. Выполняются действия пятого этапа с использованием оценки сезонной ком-

поненты, полученной на девятом этапе.

Этап 1 1 . Данные с сезонной коррекцией из десятого этапа делятся на значения трендо-

во-циклической компоненты, полученные на шестом этапе, что в результате

дает оценку нерегулярной компоненты.

Этап 12. Экстремальные значения нерегулярной компоненты исключаются по методу,

описанному на третьем этапе. Ряды модифицированных данных получаются

путем перемножения значений трендово-циклической, сезонной и подогнан-

ной нерегулярной компонент. Эти данные соответствуют исходным данным,

за исключением удаленных экстремальных значений.

Затем все эти двенадцать этапов повторяются, причем вместо исходных данных используются модифицированные данные из двенадцатого этапа. В некоторых случаях диапазон скользящих средних может быть изменен в зависимости от вариабельности данных.

Окончательный ряд с исключенными сезонными колебаниями определяется посредством деления исходных данных на окончательную сезонную компоненту. Результат содержит только произведение трендово-циклической и нерегулярной компонент.

Значения каждой из финальных компонент распечатываются, и по ним строятся графики. Существует ряд диагностических тестов, с помощью которых можно определить, насколько удачной оказалась выполненная декомпозиция.

Программный пакет X-12-AR1MA включает множество дополнительных возможностей, которые не были описаны. Например, можно делать корректировку для различного числа операционных дней в месяцах и для учета эффекта праздников. Можно оценить и добавить недостающие значения ряда, можно до начала декомпозиции удалить нетипичные эффекты, можно смоделировать другие изменения в тренде, такие как эффекты сдвига уровня или временных уклонов.